Введение

Начиная с середины 1990-х годов в научной литературе опубликовались работы, посвященные эконофизике. Работы [1-3] посвящены обзору известных в научной литературе попыток провести исследования экономических процессов с использованием теории и методов, разработанных физиками при решении различных физических задач. В работах [4-6] экономические задачи, связанные с колебанием цен и обьема выпуска товаров, с анализом финансовых временных рядов, с объяснением закона спроса и предложения, решаются в рамках физических моделей с использованием математических методов. Автор монографии [7] предлагает теоретико-методологические основы и математический инструментарий эконофизики. В работе определены понятия экономической скорости, экономического ускорения, экономической силы, экономической работы и экономической энергии. Статьи [8-9] посвящены исследованию временной зависимости национального дохода, который удовлетворяет дифференциальному уравнению гармонического осциллятора. В частности, в [9] исследован случай периодической зависимости от времени внешнего воздействия (внешние инвестиции) без учета и с учетом затухания (трансакционные издержки). В настоящей работе решается аналогичная задача, когда внешнее воздействие зависит от времени в виде произведения экспоненты и периодической функции.

Целью исследования является нахождение и анализ национального дохода как функция от времени, удовлетворяющая неоднородному дифференциальному уравнению гармонического осциллятора с внешним возмущением (внешние инвестиции), когда возмущение имеет вид произведения двух функций от времени: экспоненты и периодической функции.

Постановка задачи и её решение

Так как равновесие в макроэкономической системе считается её динамическое состояние в виде колебательного движения с малой амплитудой, то представляет определенный интерес рассматривать динамику изменения национального дохода в модели гармонического осциллятора с возмущением.

Рассмотрим модель осциллятора с внешним возмущением и допустим, что национальный доход как функция от времени (Y(t)) в этой модели без учета затухания (трансакционные издержки) (коэффициент затухания η = 0) удовлетворяет следующему неоднородному обыкновенному дифференциальному уравнению с постоянными коэффициентами второго порядка

(1)

где d2Y(t) / dt2 соответствует темпу изменения национального дохода, ω02 · Y(t) ответственен рыночной силе, которая старается возвращать систему к точке равновесия, ω0 – собственная частота колебаний осциллятора, правая часть уравнения показывает внешние инвестиции, меняющихся во времени, k – темп прироста внешних инвестиций, ω – частота колебаний внешних инвестиций, F0 – амплитуда колебаний внешних инвестиций.

Отметим, что если для нахождения общего решения однородного уравнения, соответствующего (1), пользоваться методом Эйлера, а для нахождения одного частного решения неоднородного уравнения (1) пользоваться методом вариации произвольных постоянных, то есть искать в виде

Yч.н.(t) (2)

то относительно неизвестных c1(t) и c2(t) получим следующую систему уравнений:

(3)

Решение (3) приводит к следующим аналитическим выражениям для c1(t) и c2(t)

(4)

(5)

Подставляя (4) и (5) в (2) и учитывая, что Yч.н.(t) где c1 и c2 – положительные постоянные, после некоторых алгебраических преобразований, получим

(6)

Величины c1 и c2 в (6) можно определить из следующих начальных условий Коши

(7)

Вычисления приводят к выражениям

(8)

(9)

В частном случае, когда k = 0 из (6) с учетом (8) и (9) получим

(10)

Заметим, что последнее совпадает с результатом, полученным в работе [9]. Стоит отметить, что определенный интерес представляет случай резонанса. Выражение для Y(t) в этом случае можно найти, если в (8) перейти к пределу при ω→ω0 с учетом (8) и (9). Итак, имеем

Yрез(t) (11)

Рис. 1. Кривая изменения Yрез(t) + 50 согласно (11) при η = 0; ω0 = 5; k = 2; F0 = 1; 0 ≤ t ≤ 3,8

Ниже рассмотрим случай, когда η ≠ 0 (учитываем трансакционные издержки). В этом случае в левой части уравнения (1) добавится член то есть функция Y(t) будет удовлетворять следующему дифференциальному уравнению

(12)

Решая однородное уравнение , получим:

1. при (13)

2. при (14)

3. при (15)

Частное решение уравнения (12) будем искать методом подбора, рассматривая следующие случаи: а) k + iω не совпадает с при

В этом случае Yч.н.(t) ищем в виде

Yч.н.(t) = (Acosωt + Bsinωt) · ekt. (16)

где А и B пока неизвестные коэффициенты. Требуя, чтобы (16) удовлетворяло уравнению (12), для коэффициентов A и B получим

(17)

Итак, в этом случае общее решение уравнения (12) принимает вид

(18)

б)

В этом случае Yч.н.(t) будем искать в виде

Yч.н.(t) = t · ekt · (Acosωt + Bsinωt) , (19)

где A и B пока неизвестные коэффициенты. Требуя, чтобы (19) удовлетворяло уравнению (12), для A и B получим

A = 0, B = F0 / 2ω , (20)

Тогда и общее решение уравнения (12) принимает вид

(21)

Постоянные c1 и c2, которые входят в (18) и (21), находятся с помощью начальных условий Коши (7) и выражаются формулами:

а) (22)

(23)

б) c1 = c2 = 0. (24)

Ниже приведем общее решение дифференциального уравнения (12) в случаях а) и б).

а) (25)

б) (26)

Если в (25) и (26) перейти к пределу при ω→ω0 (случай резонанса), то получим выражения для Yрез(t) в случаях а) и б) в виде:

а) (27)

б) Yрез(t) . (28)

Рис. 2. Кривая изменения Yрез(t) + 80 согласно (27) при η = 0,1; ω0 = 5,6; F0 = 1; 0 ≤ t ≤ 3,8

Из графиков изменения Y(t) в случае резонанса (рис. 1-3) виден колебательный характер динамики национального дохода в зависимости от времени. Во всех трех случаях минимумы и максимумы достигаются почти при одном и том же значении t, но они отличаются своими величинами.

Рис. 3. Кривая изменения Yрез(t) + 100 согласно (28) при k = 2; η = 0,1; ω0 = 5,6; F0 = 1; 0 ≤ t ≤ 3,8

Заключение

В работе в физической модели осциллятора с внешним возмущением (внешние инвестиции) исследована динамика изменения во времени национального дохода. Предполагается, что внешние инвестиции зависят от времени в виде произведения показательной функции (экспоненты) и периодической функции. Рассмотрены случаи, когда пренебрегаем трансакционными издержками и когда их учитываем. Проведенный аналитический и графический анализ результатов в случае резонанса показывает, что колебательный характер Y(t) сохраняется. Отметим также, что проведенное в данной работе исследование представляет интерес и с точки зрения развития теоретической эконофизики, и с практической точки зрения возможности использования материалов исследования при чтении курса «Моделирование макроэкономики» для студентов высших учебных заведений.