Введение
Начиная с 2023 года в России вступило в силу Положение Банка России от 16.11.2021 № 781-П (ред. от 22.09.2022) «О требованиях к финансовой устойчивости и платежеспособности страховщиков» (далее – Положение № 781-П), устанавливающее, в том числе, требования к расчёту резервов страховых организаций и долей перестраховщиков в них. Одним из нововведений в части расчёта доли перестраховщиков в страховых резервах является расчёт показателя ОДП – ожидаемого дефицита перестраховщика по договору перестрахования. Целью введения данной процедуры является исключение влияния на размер нормативных требований к величине капитала страховщиков договоров финансового перестрахования, т.е. договоров, условия которых построены таким образом, что при любом сценарии развития убытков финансовый результат перестраховщика будет положителен [15].
Целью настоящего исследования является разработка способа расчёта ОДП и его сопоставление с нормативным значением, что позволяет различить договоры реального перестрахования и финансового перестрахования для целей дальнейшего учёта в расчёте страховых резервов и требований к капиталу страховой организации.
Материал и методы исследования
Поскольку будущий финансовый результат перестраховщика по договору перестрахования является случайной величиной, то его прогнозирование требует применения методов стохастического моделирования [9, 10, 19]. Основным инструментарием для реализации алгоритма стохастического моделирования в данном исследовании является модуль scipy.stats библиотеки Python scipy, которая содержит все необходимые функции и методы для осуществления подбора распределения по выборке методом максимального правдоподобия, генерации случайных значений по заданному закону распределения, а также возможности тестирования статистических гипотез для оценки степени качества выбранного закона распределения случайной величины.
Основными целями создания алгоритма являются:
1) Обеспечение возможности реализации оценки распределения величины финансового результата перестраховщика по договору перестрахования и расчёта показателя ОДП по полученному распределению
2) Автоматизация и универсализация данной процедуры, то есть обеспечение возможности проведения расчёта по данным любого перестраховочного договора, подаваемым на вход модели.
1. Постановка задачи
Показатель ОДП в соответствии с требованиями п. 6.3.4.3.1 Положения № 781-П должен быть рассчитан для договоров непропорционального перестрахования по формуле:
где АР – оценка на дату расчета ОДП функции распределения размера финансового результата перестраховщика по договору исходящего перестрахования в соответствии с подпунктом 6.3.5 настоящего пункта с учетом временной стоимости денег;
Р(АР < 0) – оценка на основе АР вероятности наступления отрицательного финансового результата перестраховщика по договору исходящего перестрахования;
|Е(АР|АР < 0)| – абсолютное значение (модуль) оценки условного математического ожидания размера финансового результата перестраховщика на основе АР, при условии отрицательного значения финансового результата перестраховщика;
ОП – сумма оплаченной страховой организацией на дату расчета ОДП страховой премии по договору исходящего перестрахования и иных платежей, производимых страховой организацией в пользу перестраховщика согласно условиям иных договоров, платежи по которым зависят от условий рассматриваемого договора исходящего перестрахования, и оценки на дату расчета ОДП приведенной стоимости ожидаемого размера еще не оплаченной страховой премии по договору исходящего перестрахования и таких платежей.
Финансовый результат перестраховщика по договору исходящего перестрахования не предопределён заранее и является стохастической (случайной) величиной. Распределение этой величины может быть получено путём осуществления имитационного моделирования множества сценариев будущих выплат по договору перестрахования и долей перестраховщиков в них [2-4, 7, 8].
Таблица 1
Условия договора перестрахования
|
Лейер |
Приоритет |
Лимит |
Агрегатный лимит |
Ставка пересчёта |
Цена восстановления |
Количество восстановлений |
|
1 |
100 000 |
400 000 |
1 600 000 |
11,69% |
11,69% |
3 |
|
2 |
500 000 |
1 000 000 |
3 000 000 |
1,78% |
1,78% |
2 |
|
3 |
1 500 000 |
3 500 000 |
7 000 000 |
4,30% |
4,30% |
1 |
Таблица 2
Профиль риска
|
Сегмент |
Средняя страховая сумма |
Количество договоров |
Математическое ожидание кол-ва убытков |
Премия |
Премия Re |
Комиссия Re |
|
Имущество |
1 000 000 |
10 000 |
150 |
50 000 000 |
4 000 000 |
2 000 000 |
|
Ядерные риски |
2 000 000 |
1 500 |
12 |
3 000 000 |
150 000 |
75 000 |
Наиболее распространённой в России формой непропорционального договора перестрахования является договор эксцедента убытка (excess of loss) [5, 6, 13]. В данной схеме доля перестраховщика в каждой конкретной выплате определяется индивидуально в зависимости от величины выплаты за вычетом собственного удержания перестрахователя, с учётом лимита ответственности перестраховщика по одному убытку и агрегатного лимита ответственности по договору в целом. Также может рассчитываться восстановительная премия за возобновление перестраховочного покрытия после возникновения крупного убытка. Договоры перестрахования эксцедента убытка как правило содержат деление на слои – лейеры, в рамках каждого из которых установлены приоритет, лимит ответственности по одному убытку и агрегатный лимит, а также условия возникновения и расчёта восстановительной премии.
В табличном виде условия договора перестрахования по схеме эксцедента убытка могут быть представлены следующим образом (табл. 1).
Помимо данных о договоре перестрахования для расчётов также необходимы параметры профиля риска договора перестрахования в разрезе сегментов бизнеса (табл. 2).
Также для расчёта необходимы данные о прошлых убытках страховой организации. На основе исходных данных моделируется распределение убытков по прямому портфелю, затем применяются условия перестрахования, получается распределение убытков и сумм восстановительных премий по договору перестрахования. Далее рассчитывается распределение финансового результата перестраховщика и ОДП.
2. Этап прогнозирования
Вначале необходимо задать параметры кода и импортировать исходные данные в формате pandas-датафреймов. Фрагмент представлен на рис. 1.
Данные статистики страховых выплат прошлых лет визуализируются в при помощи библиотеки seaborn для оценки распределения тяжести по сегменту портфеля, чтобы потом использовать для моделирования аналитическую оценку (рис. 2).
По результатам визуализации можно сделать предварительные выводы относительно закона распределения величины индивидуальной выплаты, а также при необходимости отсеять выбросы в исходных данных. Для идентификации выбросов также может помочь визуализация общего массива выплат в виде boxplot и гистограммы (рис. 3).
В данном примере виден один крупный выброс.
Помимо отсеивания крупных выбросов, прошлая статистика может быть предварительно скорректирована по масштабу исходя из условий профиля риска: например, если средняя страховая сумма по договору, подпадающему под действие перестрахования, составляет 2 млн руб, а в прошлой статистике выплат средняя страховая сумма составляла 1 млн руб, то разумно будет величину выплат в статистике умножить на 2.
Рис. 1. Параметры кода
Рис. 2. Данные статистики страховых выплат
Далее для каждого сегмента бизнеса, покрываемого договором перестрахования, выполняется имитационное моделирование с разделением на две составляющие:
1) Определение дискретной функции распределения количества будущих выплат и имитационное моделирование количества будущих выплат в каждой итерации. Для этой цели используется стандартное распределение Пуассона с параметром матожидания, равным матожиданию количества убытков, указанному в профиле риска. Данная величина может быть предварительно оценена исходя из отношения количества состоявшихся убытков в прошлых периодах к экспозиции риска за соответствующие периоды. Далее на основе заданного распределения Пуассона можно сгенерировать список количеств выплат для каждой итерации методом: Paid_quantity = list(sps.poisson.rvs(num, size=iters)), где iters – параметр, задающий число итераций, а num – матожидание распределения Пуассона.
2) Генерация списка значений выплат в полученном количестве для каждой итерации. Если имеется достаточная статистика, то моделирование будущих выплат может осуществляться двумя способами:
a. путём бутстреппинга – то есть повторной выборки величин выплат из прошлой статистики при помощи функции choices библиотеки random в количестве, равном значению списка Paid_quantity на каждой итерации;
b. путём генерации n случайных значений из функции распределения величины индивидуальной выплаты. Если прошлой статистики выплат не имеется, то необходимо применить актуарное предположение относительно закона распределения будущих выплат и его параметров. Если прошлая статистика имеется и она достаточно репрезентативна, то параметры закона распределения величины индивидуальной выплаты могут быть подобраны на основе прошлой статистики выплат. В результате рассчитывается распределение убытков по прямому портфелю, распределение убытков и сумм восстановительных премий по договору перестрахования, которые затем используются для расчета распределения финансового результата перестраховщика и ОДП.
Рис. 3. Гистограммы по выплатам
Рис. 4. Программный код для вывода всех вариантов непрерывных распределений и количества параметров в них
Рис. 5. Программный код для подбора параметров методом максимального правдоподобия
Рис. 6. Программный код для проверки статистических гипотез
Библиотека scipy.stats содержит более 100 различных непрерывных распределений. Следующий код позволяет вывести список всех распределений и узнать количество их параметров (рис. 4).
Далее можно при помощи цикла осуществить подбор параметров методом максимального правдоподобия для всех законов распределения, имеющихся в модуле scipy.stats, либо ограничить список только выбранным набором распределений (рис. 5).
Затем можно проверить качество каждого из распределений, осуществив цикл применения статистических гипотез относительно близости результатов генерации по закону распределений и исходной выборки выплат. Для этих целей могут быть использованы тест Стьюдента на проверку гипотезы о равенстве матожиданий, тест Левена на проверку гипотезы о равенстве дисперсий и тест Манна-Уитни на проверку гипотезы о равенстве медиан (рис. 6).
Таблица 3
Результат имитационного моделирования по итерациям
|
Итерация |
Выплаты, руб. |
Доля в выплатах, руб. |
Восстановительная премия, руб. |
Перестраховочная премия, руб. |
Финансовый результат, руб. |
Процент доли |
|
1 |
15 576 252 |
1 699 648 |
142 054 |
4 000 000 |
2 442 406 |
10,91% |
|
2 |
21 271 874 |
6 108 088 |
308 724 |
4 000 000 |
-1 799 364 |
28,71% |
|
3 |
11 403 183 |
1 605 392 |
140 376 |
4 000 000 |
2 534 984 |
14,08% |
|
4 |
14 783 366 |
1 605 392 |
140 376 |
4 000 000 |
2 534 984 |
10,86% |
|
5 |
15 183 223 |
1 610 784 |
140 472 |
4 000 000 |
2 529 688 |
10,61% |
|
6 |
16 806 316 |
1 836 106 |
144 483 |
4 000 000 |
2 308 377 |
10,93% |
|
7 |
14 089 357 |
1 610 784 |
140 472 |
4 000 000 |
2 529 688 |
11,43% |
|
8 |
12 936 967 |
1 736 458 |
142 709 |
4 000 000 |
2 406 251 |
13,42% |
|
9 |
17 169 822 |
1 736 458 |
142 709 |
4 000 000 |
2 406 251 |
10,11% |
|
10 |
14 573 896 |
1 710 432 |
142 246 |
4 000 000 |
2 431 814 |
11,74% |
Результаты исследования и их обсуждение
В приведённом примере видно, что наилучшим образом статистике выплат соответствуют распределения Ломакса и Парето, так как они близки к выборке и по матожиданию, и по дисперсии, и по медиане. Могут быть также добавлены другие статистические гипотезы.
После того, как определён закон распределения величины индивидуальной выплаты, выполняется имитационное моделирование всех будущих выплат и расчёт долей перестраховщика в каждой индивидуальной выплате внутри каждой итерации на основе условий перестрахований их таблицы 1.
Для каждой выплаты идентифицируются лейеры перестраховочного договора, которые она затрагивает, применяются условия собственного удержания и лимитов соответствующего лейера, а также рассчитывается величина восстановительной премии и итоговый финансовый результат перестраховщика. В результате сохраняется массив выплат в каждой итерации, а также формируется результирующая таблица для расчета ОДП следующего вида (табл. 3).
К полученной таблице уже можно применить формулу расчёта ОДП в соответствии с п. 6.3.4.3.1 Положения № 781-П. Показатель Р(АР < 0) будет равен соотношению количества строк с отрицательным финансовым результатом перестраховщика ко всем строкам таблицы, показатель |Е(АР|АР < 0)| будет равен модулю среднего значения всех отрицательных строк полученной таблицы, а ОП – среднему значению суммы столбцов «Перестраховочная премия» и «Восстановительная премия».
Далее в соответствии с требованием п. 6.3.4.3.1 Положения № 781-П полученная величина ОДП сравнивается с величиной в 2,5%. Если ОДП больше данной величины, а также выполняются прочие условия, указанные в 6.3.4.3 Положения № 781-П, то такой договор перестрахования признаётся передающим страховой риск, и суммы по этому договору учитываются в расчёте нормативного размера маржи платёжеспособности (НРМП) страховой организации, в ином случае договор исключается из расчёта.
Заключение
Приведённый алгоритм имитационного моделирования может использоваться не только для расчёта ОДП, но и для анализа выгодности заключения договора перестрахования исходя из заданных предпосылок для целей принятия решения о целесообразности его заключения.
Результат данной работы в виде программного кода и документации к нему также опубликован на сайте Центрального Банка в разделе разъяснений по применению Положения № 781-П [1], в ответе на вопрос страхового рынка «Просьба привести пример расчета величины ОДП и доли перестраховщиков в страховых резервах для договоров исходящего перестрахования эксцедента убытка».
Библиографическая ссылка
Ефимов М.Д. СТОХАСТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ФИНАНСОВОГО РЕЗУЛЬТАТА ПЕРЕСТРАХОВЩИКА ПО ДОГОВОРУ ПЕРЕСТРАХОВАНИЯ ЭКСЦЕДЕНТА УБЫТКА НА ЯЗЫКЕ ПРОГРАММИРОВАНИЯ PYTHON И РАСЧЁТ ВЕЛИЧИНЫ ОЖИДАЕМОГО ДЕФИЦИТА ПЕРЕСТРАХОВЩИКА (ОДП) В СООТВЕТСТВИИ С ТРЕБОВАНИЯМИ ПОЛОЖЕНИЯ ЦЕНТ // Вестник Алтайской академии экономики и права. – 2023. – № 12-2. – С. 237-245;URL: https://vaael.ru/ru/article/view?id=3161 (дата обращения: 18.05.2024).